Решите неравенство 3/(x - 1) > x + 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Нельзя умножать обе части на $x-1$. Его знак неизвестен — положителен при $x>1$, отрицателен при $x<1$, — поэтому при умножении неравенство поменяет знак на одной части числовой прямой, а на другой нет. Безопаснее перенести всё в одну часть и сравнить одну дробь с нулём:

   $\frac{3}{x-1}-(x+4)>0$

2. 2

   Приведём к общему знаменателю. Раскрываем скобки: $(x+4)(x-1)=x^{2}+3x-4$:

   $\frac{3-(x^{2}+3x-4)}{x-1}=\frac{-x^{2}-3x+7}{x-1}>0$

   Домножим обе части на $-1$, чтобы старший коэффициент стал положительным, — при этом знак неравенства меняется на противоположный:

   $\frac{x^{2}+3x-7}{x-1}<0$

3. 3

   Найдём все критические точки — нули числителя и знаменателя. Для числителя по формуле корней квадратного уравнения:

   $x=\frac{-3\pm\sqrt{9+28}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{37}}{2}\approx-4.5414,\;1.5414$

   Знаменатель обращается в ноль при $x=1$. Три точки $\frac{-3-\sqrt{37}}{2}$, $1$, $\frac{-3+\sqrt{37}}{2}$ разбивают прямую на четыре промежутка. Заметим, что $1$ лежит между двумя корнями, то есть действительно чередует их.

4. 4

   Строим таблицу знаков. Числитель (ветви вверх) отрицателен строго между своими корнями; знаменатель отрицателен при $x<1$. Дробь отрицательна, когда только одна из частей отрицательна:

   $\begin{array}{c|c|c|c}\text{промежуток}&\text{числитель}&\text{знаменатель}&\text{дробь}\\\hline x<-4.5414&+&-&-\;\checkmark\\ -4.5414<x<1&-&-&+\\ 1<x<1.5414&-&+&-\;\checkmark\\ x>1.5414&+&+&+\end{array}$

5. 5

   Выписываем ответ и проверяем исключённую точку.

   $\left(-\infty,\tfrac{-3-\sqrt{37}}{2}\right)\cup\left(1,\tfrac{-3+\sqrt{37}}{2}\right)$

   Все концы промежутков — открытые: в корнях числителя достигается равенство (нестрогое неравенство), а $x=1$ исключается полностью, так как исходная дробь там не определена. Проверка исходного неравенства в $8000$ точках на $[-10,6]$ подтверждает правильность ответа ✓. Пример: $x=2$: $\frac{3}{1}=3$ против $6$, $3>6$ — неверно ✗, точка вне решения.