Пусть U — универсальное множество, а A, B, C — его подмножества. Какое из утверждений верно? (1) A − (B ∪ C) = (A − B) ∪ (A − C); (2) (A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C); (3) A − (B − C) = A ∩ (B' ∩ C'); (4) (A ∪ B) − C = A ∪ (B − C).

Step-by-step solution

1. 1

   Переводим каждую разность в пересечение с дополнением. Единственное правило $X-Y=X\cap Y'$ превращает все четыре утверждения в чистую алгебру пересечений, объединений и дополнений, где законы де Моргана применяются механически. Угадывать по диаграммам Венна легко с ошибкой, а такая переработка ошибок не даёт.

2. 2

   Проверяем утверждение 1. Левая часть: $A-(B\cup C)=A\cap(B\cup C)'=A\cap B'\cap C'$. Правая часть: $(A\cap B')\cup(A\cap C')=A\cap(B'\cup C')$. Они различны: элемент из $A$, лежащий в $B$, но не в $C$, принадлежит правой части и не принадлежит левой. Неверно. (Правильный вариант — $A-(B\cap C)=(A-B)\cup(A-C)$.)

3. 3

   Проверяем утверждение 2. Левая часть: $(A\cap B)-C=(A\cap B)\cap C'=A\cap B\cap C'$. Правая часть: $(A\cap C')\cap(B\cap C')=A\cap B\cap C'\cap C'=A\cap B\cap C'$ с учётом идемпотентности $C'\cap C'=C'$. Обе части совпадают. Верно.

4. 4

   Проверяем утверждение 3. Левая часть: $A-(B-C)=A\cap(B\cap C')'=A\cap(B'\cup C)$. В правой части утверждается $A\cap B'\cap C'$. Возьмём $x\in A\cap B\cap C$: тогда $x$ лежит в левой части (так как $x\in C$), но не в правой (так как $x\in B$ и $x\in C$). Неверно.

5. 5

   Проверяем утверждение 4. Левая часть: $(A\cup B)\cap C'=(A\cap C')\cup(B\cap C')$. Правая часть: $A\cup(B\cap C')$. Любой $x\in A\cap C$ лежит в правой части, но не в левой, потому что слева удаляется всё множество $C$, включая ту его часть, что лежит внутри $A$. Неверно.

6. 6

   Делаем вывод.

   $\boxed{\text{Верно только утверждение 2}}$

   Один конкретный контрпример сразу закрывает все три ложных: возьмём $U=\{1,2,3\}$, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1\}$, $C=\{2\}$. Тогда утверждение 1 читается как $\{3\}=\{1,2,3\}$, утверждение 3 — как $\{2,3\}=\{3\}$, утверждение 4 — как $\{1,3\}=\{1,2,3\}$ (всё неверно), тогда как утверждение 2 читается как $\{1\}=\{1\}$.