Упростить 192π² / (128π + 32π²).

Step-by-step solution

1. 1

   Нельзя сокращать по отдельным слагаемым. Если в знаменателе сумма, то перед сокращением нужно вынести общий множитель; попытка сократить $32\pi^{2}$ только с частью числителя будет ошибкой. Поэтому первым делом найдём наибольший общий множитель двух слагаемых в знаменателе.

2. 2

   Вынесем общий множитель в знаменателе. Заметим, что $128=32\cdot 4$, а $32\pi^{2}=32\pi\cdot\pi$, значит, оба слагаемых содержат $32\pi$: $128\pi+32\pi^{2}=32\pi\left(4+\pi\right).$

3. 3

   Аналогично разложим числитель, чтобы явно выделить тот же множитель. $192=32\cdot 6$, следовательно, $192\pi^{2}=32\pi\cdot 6\pi.$ Такое представление делает общий множитель явным.

4. 4

   Сократим общий множитель. $\frac{32\pi\cdot 6\pi}{32\pi\left(4+\pi\right)}=\frac{6\pi}{4+\pi},$ сокращение корректно, так как $\pi\neq 0$. Больше сокращать нечего: $6\pi$ и $4+\pi$ не имеют общих множителей, ведь $4+\pi$ не делится на $\pi$.

5. 5

   Проверим численно. Подставим $\pi=3.14159265$: исходная дробь $\dfrac{192(9.869604379)}{128(3.14159265)+32(9.869604379)}=\dfrac{1894.964041}{402.1238592+315.8273401}=\dfrac{1894.964041}{717.9511993}=2.639405$, а упрощённая форма даёт $\dfrac{6(3.14159265)}{7.14159265}=\dfrac{18.8495559}{7.14159265}=2.639405$. Значения совпадают до шести знаков после запятой.