Каков первый шаг при делении (8x³ - x² + 6x + 7) на (2x - 1)? Варианты: делить 8x³ на 2x; делить 2x на 8x³; делить 6x на 2x; делить 2x на 6x.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним правило деления многочленов столбиком. На каждом этапе делится старший член оставшейся части делимого на старший член делителя. Это обеспечивает уменьшение степени остатка на каждом шаге, благодаря чему процесс завершается.

2. 2

   Определим старшие члены. В $8x^3-x^2+6x+7$ старший член — $8x^3$ (наивысшая степень). В $2x-1$ старший член — $2x$. Значит, первым шагом делим $8x^3$ на $2x$.

3. 3

   Выполним это деление. $\frac{8x^3}{2x}=4x^2$ — это первый член частного. Умножая обратно, получаем $4x^2(2x-1)=8x^3-4x^2$, а после вычитания остаётся $3x^2+6x+7$.

4. 4

   Объясним, почему другие варианты неверны. Делить $2x$ на $8x^3$ — значит перепутать делимое и делитель, получится отрицательная степень. Если взять $6x$ вместо $8x^3$, то это не старший член, и степень остатка не уменьшится.

5. 5

   Доведём деление до конца, чтобы убедиться, что подход верный. Продолжая, получаем частное $4x^2+\frac32 x+\frac{15}{4}$ и остаток $\frac{43}{4}$. Дробные коэффициенты допустимы, но процесс завершается только потому, что на каждом шаге брались старшие члены.

6. 6

   Проверим численно при $x=1$. Делимое: $8-1+6+7=20$, делитель: $1$, значит, частное плюс остаток должно давать $20$. И действительно: $4+\frac32+\frac{15}{4}+\frac{43}{4}=20$, всё сходится.