Вычислите определитель матрицы 4×4 со строками (18,5,7,8), (18,3,4,4), (9,1,1,1) и (9,2,3,4).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала упростим, потом раскладывайте. Слепое разложение определителя $4\times 4$ требует четырёх определителей $3\times 3$. Прибавление к одной строке кратного другой строки определитель не меняет, поэтому гораздо дешевле сперва создать столбец с единственным ненулевым элементом.

2. 2

   Обнулим первый столбец с помощью строки 3. Строка $3$ начинается с $9$, а остальные элементы первого столбца равны $18$, $18$ и $9$, поэтому

   $R_1\leftarrow R_1-2R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2-2R_3,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_3$

   даёт

   $\begin{vmatrix}0&3&5&6\\0&1&2&2\\9&1&1&1\\0&1&2&3\end{vmatrix}$

3. 3

   Разложим по первому столбцу. Уцелевает только элемент $9$ на позиции $(3,1)$, знак его алгебраического дополнения равен $(-1)^{3+1}=+1$:

   $\det=9\begin{vmatrix}3&5&6\\1&2&2\\1&2&3\end{vmatrix}$

   (В минор входят строки $1,2,4$ и столбцы $2,3,4$ преобразованной матрицы.)

4. 4

   Вычислим минор 3×3. Вычтем строку $2$ из строки $3$, получим $(0,0,1)$, и разложим по этой строке:

   $\begin{vmatrix}3&5&6\\1&2&2\\0&0&1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}3&5\\1&2\end{vmatrix}=3(2)-5(1)=1$

5. 5

   Умножим обратно.

   $\det=9\times 1=9$

   $\boxed{9}$

6. 6

   Проверим прямым разложением по третьей строке. Разложение исходной матрицы по строке $(9,1,1,1)$ даёт $9M_{31}-1\cdot M_{32}+1\cdot M_{33}-1\cdot M_{34}$ с соответствующими знаками; доведя это до конца, снова получаем $9$. Совпадение двух независимых путей и служит проверкой того, что ни в одном преобразовании строк не перепутан знак.