Упростите (2x + 1)/(x + 5) − (3x − 2)/(x + 4), записав результат одной дробью.

Step-by-step solution

1. 1

   Строим общий знаменатель. Знаменатели $x+5$ и $x+4$ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель — их произведение $(x+5)(x+4)$. Каждую дробь домножаем сверху и снизу на недостающий множитель:

   $\frac{2x+1}{x+5}=\frac{(2x+1)(x+4)}{(x+5)(x+4)},\qquad \frac{3x-2}{x+4}=\frac{(3x-2)(x+5)}{(x+5)(x+4)}.$

   Заодно отметим ограничения $x\ne-5$ и $x\ne-4$ — они переходят и в окончательный ответ.

2. 2

   Раскрываем первый числитель. Перемножаем каждое слагаемое с каждым:

   $(2x+1)(x+4)=2x^{2}+8x+x+4=2x^{2}+9x+4.$

   Средний коэффициент равен $8+1=9$; если привести подобные сразу, дальше не придётся тащить громоздкое выражение из четырёх слагаемых.

3. 3

   Раскрываем второй числитель. Точно так же

   $(3x-2)(x+5)=3x^{2}+15x-2x-10=3x^{2}+13x-10.$

   Следите за свободным членом: $(-2)(+5)=-10$, а не $+10$.

4. 4

   Вычитаем, распределяя минус на все три слагаемых. Именно на этом шаге сосредоточены почти все ошибки:

   $\left(2x^{2}+9x+4\right)-\left(3x^{2}+13x-10\right)=2x^{2}+9x+4-3x^{2}-13x+10.$

   Все знаки внутри второй скобки меняются, в том числе $-10$ превращается в $+10$. Приводим подобные:

   $-x^{2}-4x+14.$

5. 5

   Записываем результат и проверяем численно. Упрощённое выражение равно

   $\frac{-x^{2}-4x+14}{(x+5)(x+4)}=-\frac{x^{2}+4x-14}{(x+5)(x+4)},\qquad x\ne-5,\,-4.$

   Числитель не раскладывается на множители в рациональных числах (его дискриминант равен $16+56=72$), поэтому сокращать нечего. Численная проверка при $x=2$: исходное выражение даёт $\tfrac57-\tfrac46=0.7143-0.6667=0.04762$, а ответ — $\tfrac{-4-8+14}{7\cdot 6}=\tfrac{2}{42}=0.04762$ ✓.