Решить неравенство (x − 3)/4 < 6 − (3 − 4x)/2 и записать множество решений.

Step-by-step solution

1. 1

   Умножаем на наименьший общий знаменатель, а не на каждую дробь по отдельности. Знаменатели равны $4$ и $2$, поэтому $\operatorname{lcm}(4,2)=4$. Умножение неравенства на положительное число $4$ оставляет знак $<$ неизменным — только поэтому первый шаг и безопасен. (Умножение на отрицательное число потребовало бы перевернуть знак.)

2. 2

   Умножаем на 4 каждое слагаемое справа, включая $6$.

   $4\cdot\frac{x-3}{4}<4\cdot 6-4\cdot\frac{3-4x}{2}\ \Longrightarrow\ x-3<24-2(3-4x)$

   Самая частая ошибка здесь — умножить только дроби и оставить $6$ без изменения.

3. 3

   Раскрываем скобку, следя за минусом перед ней. Множитель $-2$ умножает оба слагаемых внутри:

   $-2(3-4x)=-6+8x$

   поэтому

   $x-3<24-6+8x\ \Longrightarrow\ x-3<18+8x$

   Заметим, что $-2\cdot(-4x)=+8x$: минус на минус даёт плюс, и поэтому слагаемое с $x$ оказывается в большей части.

4. 4

   Собираем слагаемые с $x$ там, где коэффициент останется положительным. Вычитаем $x$ из обеих частей:

   $-3<18+7x$

   Такой выбор избавляет от деления на отрицательное число, а значит и от смены знака.

5. 5

   Выражаем $x$. Вычитаем $18$, затем делим на положительное $7$:

   $-21<7x\ \Longrightarrow\ -3<x\ \Longrightarrow\ x>-3$

   В виде промежутка множество решений — это $(-3,\infty)$.

6. 6

   Проверяем по одной точке внутри и снаружи. При $x=0$ (внутри): слева $=-\tfrac34$, справа $=6-\tfrac32=4.5$, и $-0.75<4.5$ ✓. При $x=-4$ (снаружи): слева $=-\tfrac74=-1.75$, справа $=6-\tfrac{19}{2}=-3.5$, и $-1.75<-3.5$ неверно ✓. На границе $x=-3$ обе части равны, что подтверждает исключение этой точки.