Решите уравнение |x| + |x − 1| = 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Найдите точки перелома. Каждый модуль меняет формулу там, где подмодульное выражение обращается в ноль: $x=0$ для $|x|$ и $x=1$ для $|x-1|$. Эти две точки режут числовую прямую на $x<0$, $0\le x<1$ и $x\ge 1$. Внутри каждого куска оба модуля заменяются обычными линейными выражениями — ради этого разбиение и делается.

2. 2

   Случай 1: $x<0$. Оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому $|x|=-x$ и $|x-1|=1-x$:

   $-x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ -2x+1=3\ \Longrightarrow\ x=-1$

   Теперь проверьте условие случая: $-1<0$ ✓, значит $x=-1$ — настоящий корень.

3. 3

   Случай 2: $0\le x<1$. Здесь $|x|=x$, но $|x-1|=1-x$:

   $x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ 1=3$

   Слагаемые с $x$ сокращаются, и остаётся ложное равенство, поэтому этот промежуток ничего не даёт. Геометрически $|x|+|x-1|$ — суммарное расстояние от $x$ до $0$ и до $1$, а между этими точками оно всюду равно ровно $1$ и до $3$ дотянуться не может.

4. 4

   Случай 3: $x\ge 1$. Оба подмодульных выражения неотрицательны, поэтому $|x|=x$ и $|x-1|=x-1$:

   $x+(x-1)=3\ \Longrightarrow\ 2x=4\ \Longrightarrow\ x=2$

   Проверяем условие: $2\ge 1$ ✓, значит $x=2$ подходит.

5. 5

   Всегда сверяйте кандидата с условием его собственного случая. Типичная ошибка здесь — оставить значение, которое решает уравнение одного случая, но лежит в другом промежутке. Оба уцелевших значения проверку проходят, и подстановка это подтверждает: $|-1|+|-2|=1+2=3$ ✓ и $|2|+|1|=2+1=3$ ✓.

6. 6

   Запишите ответ. $x=-1$ или $x=2$. Трактовка через расстояния объясняет, почему корней ровно два: суммарное расстояние до пары $\{0,1\}$ должно равняться $3$, а это происходит в одной точке с каждой стороны от отрезка.