Упростите выражение (9a² − 4)/(2 − 3a) − (6a² − 5a − 6)/(3 − 2a).

Step-by-step solution

1. 1

   Наметим путь: сначала разложить всё на множители, а уже потом искать общий знаменатель. Оба знаменателя записаны «наоборот» относительно множителей, которые появятся в числителях, и эта перестановка стоит ровно множителя $-1$. Заметив её первой, вы избежите громоздкого приведения к общему знаменателю.

2. 2

   Разложим и сократим первую дробь. $9a^2-4 = (3a)^2-2^2 = (3a-2)(3a+2)$, тогда как $2-3a = -(3a-2)$. Сокращая совпадающий множитель: $\frac{(3a-2)(3a+2)}{-(3a-2)} = -(3a+2) = -3a-2, \qquad a \neq \tfrac23.$

3. 3

   Разложим числитель второй дроби. Для $6a^2-5a-6$ подберём целые числа с произведением $6(-6) = -36$ и суммой $-5$: это $4$ и $-9$. Разбивая и группируя: $6a^2+4a-9a-6 = 2a(3a+2)-3(3a+2) = (3a+2)(2a-3)$.

4. 4

   Сократим вторую дробь. Поскольку $3-2a = -(2a-3)$, $\frac{(3a+2)(2a-3)}{-(2a-3)} = -(3a+2) = -3a-2, \qquad a \neq \tfrac32.$ Обе дроби свелись к одному и тому же выражению.

5. 5

   Вычтем. $(-3a-2)-(-3a-2) = -3a-2+3a+2 = 0.$ Выражение тождественно равно нулю всюду, где оно определено.

6. 6

   Запишем исключённые значения и проверим подстановкой. Исходное выражение не определено при $a=\tfrac23$ и $a=\tfrac32$. Подстановка $a=0.3$, $1.7$, $-2$ и $5$ во всех случаях даёт $0$ с полной точностью, что подтверждает тождество.