Функция f задана формулой f(x) = ax² + bx + c, где a, b и c — постоянные. Уравнение f(x) = 0 имеет решения x = 1 и x = −7. Если a — целое число, большее 1, то a + b ≥ n для каждой такой функции f. Каково наибольшее возможное значение n?

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём два корня в разложение на множители. Квадратичная функция определяется своими корнями с точностью до одного числового множителя. Раз $f(1)=0$ и $f(-7)=0$, то на $f$ делятся оба множителя $(x-1)$ и $(x+7)$, поэтому

   $f(x)=a(x-1)(x+7)$

   для некоторой постоянной $a$ — и это тот же старший коэффициент, что и в записи $ax^{2}+bx+c$, потому что произведение $(x-1)(x+7)$ имеет старший коэффициент $1$.

2. 2

   Раскроем скобки и выразим $b$ через $a$.

   $f(x)=a\left(x^{2}+6x-7\right)=ax^{2}+6ax-7a,$

   так что сравнение коэффициентов даёт $b=6a$ и $c=-7a$. Теперь всё определяется единственной неизвестной $a$.

3. 3

   Запишем оцениваемую величину.

   $a+b=a+6a=7a.$

   Значит, вопрос «насколько большим может быть $n$, если неравенство $a+b\ge n$ выполняется всегда?» на самом деле означает «насколько малым может стать $7a$?».

4. 4

   Минимизируем по допустимым значениям $a$. По условию $a$ — целое число, большее 1, поэтому возможные значения $a=2,3,4,\dots$, и наименьшее из них $a=2$. (Условие $a\ne 0$ выполняется автоматически: у квадратичной функции старший коэффициент ненулевой.) Значит, наименьшее значение $a+b$ равно

   $7(2)=14.$

5. 5

   Переведём минимум в ответ. Неравенство $a+b\ge n$ должно выполняться для каждой допустимой функции $f$, поэтому $n$ не может превышать наименьшего из значений, которые принимает $a+b$. Это наименьшее значение $14$ достигается (при $a=2$, то есть $f(x)=2x^{2}+12x-14$), поэтому $n=14$ подходит, а ничто большее — нет:

   $n_{\max}=14.$