Даны z = 2 + i, u = 3 − 2i и v = −1/2 − (√3)/2 i. Вычислите z² − 3u³ + 2v и запишите ответ в виде a + bi.

Step-by-step solution

1. 1

   Возведём $z$ в квадрат. Используется формула $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, при этом $i^{2}=-1$:

   $z^{2}=(2+i)^{2}=4+4i+i^{2}=4+4i-1=3+4i.$

2. 2

   Возведём $u$ в куб в два этапа. Сначала возводится в квадрат:

   $u^{2}=(3-2i)^{2}=9-12i+4i^{2}=9-12i-4=5-12i.$

   Затем умножается ещё раз на $u$:

   $u^{3}=(5-12i)(3-2i)=15-10i-36i+24i^{2}=15-46i-24=-9-46i.$

   Такой способ (сначала квадрат, затем умножение) позволяет избежать ошибок по сравнению с раскрытием куба бинома сразу.

3. 3

   Умножим на коэффициенты. Домножим $-3$ на оба слагаемых:

   $-3u^{3}=-3(-9-46i)=27+138i.$

   И

   $2v=2\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-1-\sqrt{3}\,i.$

4. 4

   Сложим действительные части.

   $3+27-1=29.$

5. 5

   Сложим мнимые части. Здесь нельзя объединить всё в одно число, так как одно из слагаемых содержит иррациональность:

   $4+138-\sqrt{3}=142-\sqrt{3}.$

6. 6

   Запишем ответ и оценим его величину.

   $z^{2}-3u^{3}+2v=29+\left(142-\sqrt{3}\right)i\approx 29+140{,}268\,i.$

   Как и ожидалось, доминирует слагаемое $u^3$: $|u|=\sqrt{13}$, значит $|u^{3}|=13\sqrt{13}\approx 46{,}9$, а $|-3u^3|\approx 140{,}7$, что значительно больше $|z^2|=5$ или $|2v|=2$. Кстати, $v$ имеет модуль $1$ и аргумент $-\tfrac{2\pi}{3}$, то есть является примитивным кубическим корнем из единицы.