Разложить x² + 5xy + 6y² − 2x − 7y − 3 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Выделим часть второй степени. Если всё выражение разлагается на два линейных множителя, то их старшие части должны при перемножении давать $x^2+5xy+6y^2$. Разложение только этой части определяет вид ответа.

2. 2

   Разложим квадратичную часть.

   $x^{2}+5xy+6y^{2}=(x+2y)(x+3y)$

   Значит, всё выражение должно иметь вид $(x+2y+p)(x+3y+q)$, где $p$ и $q$ — некоторые константы.

3. 3

   Подберём константы по свободному члену. При перемножении двух констант получаем $pq=-3$, то есть возможные пары $\{p,q\}$ — это $\{1,-3\}$ или $\{3,-1\}$.

4. 4

   Сравним коэффициенты при x и y, чтобы выбрать подходящую пару. Раскрывая скобки в $(x+2y+p)(x+3y+q)$, получаем коэффициент при $x$ равный $p+q$, а при $y$ — $3p+2q$. Необходимо, чтобы $p+q=-2$ и $3p+2q=-7$. Пара $p=-3$, $q=1$ этим условиям удовлетворяет: $-3+1=-2$ и $-9+2=-7$.

5. 5

   Запишем ответ.

   $\boxed{(x+2y-3)(x+3y+1)}$

6. 6

   Проверим раскрытием скобок.

   $(x+2y-3)(x+3y+1)=x^2+3xy+x+2xy+6y^2+2y-3x-9y-3=x^2+5xy+6y^2-2x-7y-3$