Если (2; +∞) — один из промежутков решения x² + x − b > 0, какой другой промежуток решения?

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим вид параболы, направленной вверх. Так как коэффициент при $x^2$ равен $+1$, график $y=x^2+x-b$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y>0$ выполняется вне корней, то есть множество решений имеет вид $(-\infty,r_1)\cup(r_2,+\infty)$, где $r_1<r_2$.

2. 2

   Свяжем данный промежуток с корнем. Указанный промежуток $(2,+\infty)$ — это правая ветвь, значит, его левая граница $x=2$ является большим корнем. Границы множества решений строгого квадратного неравенства — это сами корни уравнения.

3. 3

   Вычислим b. Подставим $x=2$ в $x^2+x-b=0$: $4+2-b=0$, откуда $b=6$. Получаем неравенство $x^2+x-6>0$.

4. 4

   Разложим на множители и найдём второй корень. $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, значит, корни — $-3$ и $2$. Произведение $(x+3)(x-2)$ положительно, когда оба множителя одного знака.

5. 5

   Запишем недостающий промежуток. Оба множителя отрицательны при $x<-3$, значит, другой промежуток решения — $(-\infty,-3)$, а всё множество решений — $(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$.

6. 6

   Проверим на числах $x = -4$ и $x = 0$. При $x=-4$: $16-4-6=6>0$, то есть $-4$ принадлежит решению. При $x=0$ (между корнями): $0+0-6=-6<0$, что верно не входит в решение.