Решить неравенство (x + 1)(x − 4) ≤ 1/4.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала переносим всё в одну часть. Произведение легко читается только тогда, когда оно сравнивается с нулём, а справа здесь стоит $\tfrac14$, а не $0$ — поэтому разложение на множители слева пока бесполезно. Раскроем скобки и перенесём:

   $x^{2}-3x-4\le \frac14\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-3x-\frac{17}{4}\le 0$

2. 2

   Избавляемся от дроби. Умножение на положительное число $4$ не меняет направление неравенства:

   $4x^{2}-12x-17\le 0$

3. 3

   Находим корни по формуле квадратного уравнения.

   $x=\frac{12\pm\sqrt{144-4(4)(-17)}}{8}=\frac{12\pm\sqrt{144+272}}{8}=\frac{12\pm\sqrt{416}}{8}$

   Так как $416=16\times 26$, то $\sqrt{416}=4\sqrt{26}$, откуда

   $x=\frac{12\pm 4\sqrt{26}}{8}=\frac{3\pm\sqrt{26}}{2}$

4. 4

   Пользуемся направлением ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $4>0$, поэтому ветви направлены вверх и выражение $\le 0$ между корнями (включая их, так как неравенство нестрогое):

   $\boxed{\frac{3-\sqrt{26}}{2}\le x\le \frac{3+\sqrt{26}}{2}}$

5. 5

   Записываем десятичный вид и проверяем точку. Так как $\sqrt{26}\approx 5.0990$, промежуток примерно равен $[-1.0495,\ 4.0495]$. Проверим середину $x=1.5$: $(2.5)(-2.5)=-6.25\le 0.25$ ✓. Проверим $x=5$: $(6)(1)=6>0.25$ ✗ — как и должно быть вне промежутка.

6. 6

   Обратите внимание, как близки концы к «очевидному» ответу. Разложенная форма провоцирует написать $-1\le x\le 4$, но это решение неравенства $(x+1)(x-4)\le 0$. Добавка $\tfrac14$ раздвигает каждый конец примерно на $0.05$ — немного, но точные концы иррациональны, а не равны $-1$ и $4$.