Пусть x = 1/(√5 − 2) и y = 1/(√5 + 2). Найдите (1) x + y и xy, (2) x² + y².

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала избавляемся от иррациональности в обоих знаменателях. Умножение на сопряжённое выражение превращает каждый знаменатель в $\left(\sqrt5\right)^{2}-2^{2}=1$:

   $x=\frac{1}{\sqrt5-2}\cdot\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5+2}=\sqrt5+2,\qquad y=\frac{1}{\sqrt5+2}\cdot\frac{\sqrt5-2}{\sqrt5-2}=\sqrt5-2$

   Оба знаменателя обратились ровно в $1$ — потому-то числа и получились такими аккуратными.

2. 2

   (1) Считаем сумму. Слагаемые $\pm 2$ взаимно уничтожаются:

   $x+y=\left(\sqrt5+2\right)+\left(\sqrt5-2\right)=2\sqrt5$

3. 3

   Считаем произведение. Здесь работает разность квадратов:

   $xy=\left(\sqrt5+2\right)\left(\sqrt5-2\right)=5-4=1$

   Заметим, что $x$ и $y$ взаимно обратны — это видно прямо из их исходных определений.

4. 4

   (2) Пользуемся симметрическим тождеством вместо возведения каждого числа в квадрат.

   $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$

   Так не приходится раскрывать два квадрата с радикалами — ради этого мы и находили сначала $x+y$ и $xy$.

5. 5

   Подставляем.

   $x^{2}+y^{2}=\left(2\sqrt5\right)^{2}-2(1)=20-2=18$

   $\boxed{x+y=2\sqrt5,\quad xy=1,\quad x^{2}+y^{2}=18}$

6. 6

   Проверяем напрямую. $x=4.23607$ и $y=0.23607$: $x+y=4.47214=2\sqrt5$ ✓, $xy=1.00000$ ✓, и $x^{2}+y^{2}=17.9443+0.0557=18.000$ ✓. Тождество $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$ точно так же дало бы $\left(2\sqrt5\right)^{3}-3\left(2\sqrt5\right)=40\sqrt5-6\sqrt5=34\sqrt5$.