Вычислить log по основанию 3 от 18, делённое на сумму 2 и log по основанию 3 от 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Разберём обозначения. Изначально выражение записано через двоеточие: $\log_3 18:(2+\log_3 2)$, а в такой записи "$a:b$" означает $a\div b$. Значит, требуется найти значение дроби $\dfrac{\log_3 18}{2+\log_3 2}$.

2. 2

   Разложим 18 так, чтобы появился показатель основания. Основание логарифма — $3$, поэтому выделим множители $3$:

   $18=9\cdot 2=3^2\cdot 2$

   Это ключевая мысль — в знаменателе уже есть $2$ и $\log_3 2$, значит, в числителе скрыты те же части.

3. 3

   Разобьём логарифм по правилу произведения. По формуле $\log_b(MN)=\log_b M+\log_b N$ получаем:

   $\log_3 18=\log_3(3^2)+\log_3 2=2+\log_3 2$

   так как $\log_3(3^2)=2$ по определению.

4. 4

   Подставим и сократим. Теперь числитель совпадает со знаменателем:

   $\frac{\log_3 18}{2+\log_3 2}=\frac{2+\log_3 2}{2+\log_3 2}=1$

   Сокращение корректно, так как $\log_3 2\approx 0{,}6309>0$, значит, знаменатель около $2{,}63$ и не равен нулю.

5. 5

   Проверим численно. $\log_3 18=\frac{\ln 18}{\ln 3}=2{,}6309298$, а $2+\log_3 2=2+0{,}6309298=2{,}6309298$. Значения совпадают до седьмого знака, значит, отношение точно равно $1$.