Родительская функция f(x) = |x| отражается относительно оси Ox, затем сдвигается на 6 единиц вниз. Запишите уравнение новой функции.

Step-by-step solution

1. 1

   Начнем с родительской V-образной функции. $f(x)=|x|$ — вершина $(0,0)$, график направлен вверх, «руки» имеют угловые коэффициенты $-1$ слева и $+1$ справа. Область значений — $[0,\infty)$.

2. 2

   Отразим относительно оси $x$. При отражении относительно оси $x$ каждый выходной $y$ заменяется на $-y$:

   $-f(x)=-|x|$

   Теперь V-образная линия направлена вниз, «руки» имеют угловые коэффициенты $+1$ и $-1$, область значений — $(-\infty,0]$. (Если бы отражали относительно оси $y$, то $x$ заменялся бы на $-x$, но $|-x|=|x|$, так что график не изменился бы — важно помнить, так как в условии сказано просто «отражается».)

3. 3

   Сдвинем на 6 единиц вниз. Вычтем $6$ из значения функции:

   $-|x|-6$

4. 4

   Опишем получившийся график.

   $f(x)=-|x|-6,\qquad \text{вершина }(0,-6),\ \text{область значений }(-\infty,-6]$

   Максимальное значение — $-6$, достигается только при $x=0$.

5. 5

   Проверим точки и отметим отсутствие корней. При $x=0$: $-|0|-6=-6\;\checkmark$ (вершина). При $x=3$: $-3-6=-9$, и исходная точка $(3,3)$ действительно отражается в $(3,-3)$, затем сдвигается в $(3,-9)\;\checkmark$. Поскольку наибольшее значение $-6<0$, уравнение $-|x|-6=0$ не имеет решений — график не пересекает ось $x$.