Решите двойное неравенство 7 < 60(1 + x)/7 < 8.

Step-by-step solution

1. 1

   Оценим знак ответа. При $x=0$ среднее выражение равно $\tfrac{60}{7}\approx8{,}57$, что выше нужного промежутка $(7,8)$. Значит, $1+x$ должно стать меньше $1$, то есть $x$ получится отрицательным — полезно проверить это в конце.

2. 2

   Умножим все три части на 7. Так как $7>0$, знаки неравенств сохраняются:

   $49<60(1+x)<56$

3. 3

   Разделим все три части на 60. Делитель положителен, поэтому знаки не меняются:

   $\frac{49}{60}<1+x<\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$

   Сокращение $\tfrac{56}{60}$ до $\tfrac{14}{15}$ заранее упростит следующий шаг.

4. 4

   Вычтем 1 из всех трёх частей.

   $\frac{49}{60}-\frac{60}{60}<x<\frac{14}{15}-\frac{15}{15}$

   $-\frac{11}{60}<x<-\frac{1}{15}$

   Оба конца промежутка отрицательны, что совпадает с прогнозом из первого шага.

5. 5

   Проверим порядок границ. Приведём к общему знаменателю $60$: $-\tfrac{11}{60}<-\tfrac{4}{60}$ — верно, значит, промежуток существует и не пуст, в отличие от случая с перепутанными $8$ и $7$.

6. 6

   Проверим оба конца точно. При $x=-\tfrac{11}{60}$: $1+x=\tfrac{49}{60}$ и $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{49}{60}=\tfrac{49}{7}=7$ — нижняя граница достигается ровно ✓. При $x=-\tfrac{1}{15}$: $1+x=\tfrac{14}{15}$ и $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{14}{15}=\tfrac{56}{7}=8$ ✓. Неравенства строгие, поэтому сами концы не входят в ответ.