Решить 0 = 0,7x + 6,804e10 × x⁴ – 1210,23 для всех действительных x.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём к стандартному виду и оценим масштаб. Перепишем уравнение:

   $6.804\times10^{10}x^{4}+0.7x-1210.23=0.$

   Старший коэффициент очень велик, поэтому слагаемое $x^{4}$ сравняется по величине с константой при очень малых $x$. Это противоположная ситуация уравнению четвёртой степени с малым старшим коэффициентом, где корни были бы большими.

2. 2

   Оценим корни, отбросив линейный член. Оставим только два главных слагаемых:

   $6.804\times10^{10}x^{4}\approx1210.23\;\Longrightarrow\;x^{4}\approx1.7787\times10^{-8}\;\Longrightarrow\;|x|\approx0.0115485.$

   Здесь такое приближение оправдано: при найденном $x$ линейный член $0.7x\approx0.0081$ на пять порядков меньше $1210.23$. Так как $x^{4}$ — чётная функция, сразу получаем два корня: один около $+0.0115$, другой около $-0.0115$.

3. 3

   Проверим наличие двух смен знака. Просмотр функции $f(x)=6.804\times10^{10}x^{4}+0.7x-1210.23$ на отрезке $[-1,1]$ показывает ровно две смены знака — около $-0.011549$ и $+0.011548$. Если указать только положительный корень (что часто упускают), половина ответа будет потеряна.

4. 4

   Уточним оба корня методом бисекции. Делим отрезки пополам, пока $|f|<10^{-12}$:

   $x_{+}=0.0115484893,\qquad x_{-}=-0.0115485279.$

   Корни почти, но не совсем противоположны: член $0.7x$ слегка нарушает симметрию, отодвигая отрицательный корень чуть дальше от нуля. Значение $0.0115425$ недостаточно точно — там $f\approx-2.51$, а не $0$.

5. 5

   Подставим найденные значения. При $x=0.0115484893$ четвёртая степень даёт $1210.222$, линейный член — $0.008084$, вместе они компенсируют $1210.23$ с точностью до $9\times10^{-6}$ ✓. При $x=-0.0115485279$ четвёртая степень $1210.238$, линейный член $-0.008084$, снова сумма близка к нулю ✓. Оставшиеся два корня — комплексно сопряжённая пара.