Пусть f(x) = −x² + 7x + 2. После вычисления и упрощения выражение (f(x + h) − f(x))/h принимает вид Ax + Bh + C. Найдите A, B и C.

Step-by-step solution

1. 1

   Подставим $x+h$ всюду, где встречается $x$.

   $f(x+h)=-(x+h)^{2}+7(x+h)+2.$

   Раскрывая $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ и аккуратно распределяя ведущий минус:

   $f(x+h)=-x^{2}-2xh-h^{2}+7x+7h+2.$

   Именно этот минус перед квадратом — самое частое место ошибки.

2. 2

   Вычтем $f(x)$ и проследим, как исчезают слагаемые без $h$.

   $f(x+h)-f(x)=\bigl(-x^{2}-2xh-h^{2}+7x+7h+2\bigr)-\bigl(-x^{2}+7x+2\bigr).$

   Слагаемые $-x^{2}$, $7x$ и $2$ уничтожаются попарно, остаётся

   $-2xh-h^{2}+7h.$

   Каждое уцелевшее слагаемое содержит $h$ — так и должно быть, иначе деление на $h$ дало бы бесконечность при $h\to0$.

3. 3

   Вынесем $h$ за скобки и сократим.

   $\frac{h(-2x-h+7)}{h}=-2x-h+7,\qquad h\ne 0.$

4. 4

   Сопоставим с требуемым видом. Записав результат как $(-2)x+(-1)h+7$ и сравнив с $Ax+Bh+C$:

   $A=-2,\qquad B=-1,\qquad C=7.$

5. 5

   Проверим через производную и численный пример. При $h\to0$ получаем $-2x+7$ — это в точности $f'(x)$ для $f(x)=-x^{2}+7x+2$: разностное отношение обязано сворачиваться в производную. Численно при $x=3$, $h=0.1$: $f(3.1)=-9.61+21.7+2=14.09$ и $f(3)=-9+21+2=14$, значит отношение равно $0.09/0.1=0.9$, а $-2(3)-0.1+7=0.9$ ✓.