Пусть a и b — действительные числа. Система неравенств x² - 5x + a < 0 и x² + 3x + b < 0 имеет область решений 1 < x < 2. Найдите пару (a, b).

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём условие задачи. В каждом неравенстве слева — парабола, ветви которой направлены вверх, значит, область решений каждого неравенства — открытый интервал между его корнями. Решением системы будет пересечение этих интервалов, причём по условию

   $\left(\alpha_1, \beta_1\right) \cap \left(\alpha_2, \beta_2\right) = (1, 2)$

2. 2

   Используем теорему Виета для суммы корней. Коэффициент при $x$ фиксирует сумму корней каждого квадратного трёхчлена независимо от $a$ и $b$:

   $\alpha_1 + \beta_1 = 5, \qquad \alpha_2 + \beta_2 = -3$

   Именно это ограничение делает задачу определённой — интервалы нельзя выбрать произвольно.

3. 3

   Сопоставим концы пересечения с интервалами. Пересечение $(1,2)$ имеет левый конец $1$ и правый $2$, каждый из которых должен быть концом одного из интервалов. Пусть $\alpha_1 = 1$: тогда $\beta_1 = 5 - 1 = 4$, то есть первый интервал — $(1, 4)$ и он даёт левый конец. Второй интервал должен дать правый конец, значит, $\beta_2 = 2$, а $\alpha_2 = -3 - 2 = -5$, то есть второй интервал — $(-5, 2)$.

4. 4

   Находим a и b по произведениям корней. По теореме Виета произведение корней даёт свободный член:

   $a = \alpha_1\beta_1 = 1 \times 4 = 4, \qquad b = \alpha_2\beta_2 = (-5)(2) = -10$

5. 5

   Проверим разложение на множители и пересечение. $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) < 0$ на $(1,4)$, а $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2) < 0$ на $(-5,2)$. Их пересечение — $(1,4) \cap (-5,2) = (1,2)$, что совпадает с условием.

6. 6

   Убедимся, что других вариантов нет. Если бы левый конец дал второй интервал, то $\alpha_2 = 1$, $\beta_2 = -4$ — невозможно, так как $\beta_2 > \alpha_2$ по определению. Значит, $(a,b) = (4,-10)$ — единственная пара, удовлетворяющая условию.