Решите неравенство: x, умноженное на логарифм по основанию 1/3 от (1/2 − x), больше или равно модулю x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала зафиксируем область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть строго положителен:

   $\frac12-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac12$

   Всё дальнейшее мы ищем внутри промежутка $\left(-\infty,\tfrac12\right)$; любой кандидат вне его отбрасывается автоматически.

2. 2

   Разбираем случаи по знаку $x$: от него зависят и $|x|$, и направление неравенства. Обозначим $L=\log_{1/3}\!\left(\tfrac12-x\right)$. Неравенство имеет вид $xL\ge|x|$. Естественный шаг — разделить на $x$, но знак $x$ определяет и то, чему равен $|x|$, и то, меняется ли знак неравенства, поэтому три случая $x>0$, $x=0$, $x<0$ нужно разобрать по отдельности.

3. 3

   Случай $x>0$. Здесь $|x|=x$, и деление на положительное число $x$ сохраняет направление:

   $L\ge 1$

   Основание $\tfrac13$ меньше $1$, поэтому $\log_{1/3}$ — убывающая функция: неравенство $\log_{1/3}t\ge 1$ переворачивается в $0<t\le\left(\tfrac13\right)^{1}=\tfrac13$. Значит,

   $0<\frac12-x\le\frac13\quad\Longleftrightarrow\quad \frac16\le x<\frac12$

   Вместе с условием $x>0$ это даёт $\left[\tfrac16,\tfrac12\right)$.

4. 4

   Случай $x<0$. Теперь $|x|=-x$, а деление неравенства $xL\ge-x$ на отрицательное число $x$ меняет знак на противоположный:

   $L\le -1$

   Снова пользуемся убыванием $\log_{1/3}$: неравенство $\log_{1/3}t\le-1$ превращается в $t\ge\left(\tfrac13\right)^{-1}=3$:

   $\frac12-x\ge3\quad\Longleftrightarrow\quad x\le-\frac52$

   Все такие $x$ отрицательны и лежат в области определения, поэтому подходит весь луч $\left(-\infty,-\tfrac52\right]$.

5. 5

   Случай $x=0$ — его нельзя пропускать. Прямая подстановка даёт $0\cdot L=0$ и $|0|=0$, то есть неравенство превращается в верное $0\ge0$. Изолированная точка $x=0$ — настоящее решение, хотя она не попадает ни в один из промежутков; именно её и потеряло бы неаккуратное деление на $x$.

6. 6

   Собираем ответ и проверяем. Множество решений:

   $x\in\left(-\infty,-\frac52\right]\cup\{0\}\cup\left[\frac16,\frac12\right)$

   Проверим две граничные точки: при $x=-\tfrac52$ имеем $\tfrac12-x=3$ и $\log_{1/3}3=-1$, так что левая часть равна $(-\tfrac52)(-1)=\tfrac52=|x|$ — достигается равенство. При $x=\tfrac16$ имеем $\tfrac12-x=\tfrac13$ и $\log_{1/3}\tfrac13=1$, левая часть равна $\tfrac16=|x|$ — снова равенство. Контрольное значение из отброшенной зоны, скажем $x=-1$, даёт $(-1)\log_{1/3}\tfrac32\approx0.369$, что меньше $|x|=1$, — значит, оно исключено правильно.