Решите уравнение с модулем |3x − 5| = 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверьте, что правая часть положительна. Модуль — это расстояние, он никогда не отрицателен. Здесь справа $5>0$, значит решения есть и их будет ровно два — по одному на каждую из точек, удалённых от нуля на $5$.

2. 2

   Превратите одно уравнение в два. Запись $|A|=5$ говорит, что $A$ удалено от $0$ на $5$, то есть $A=5$ или $A=-5$. При $A=3x-5$:

   $3x-5=5\qquad\text{или}\qquad 3x-5=-5$

   Ничего не потеряно и ничего не добавлено — два случая вместе в точности равносильны исходному уравнению.

3. 3

   Решите случай со знаком плюс. Прибавьте $5$ к обеим частям и разделите на $3$:

   $3x=10\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{10}{3}$

4. 4

   Решите случай со знаком минус. Снова прибавьте $5$; на этот раз правая часть обращается в ноль:

   $3x-5=-5\quad\Longrightarrow\quad 3x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0$

5. 5

   Подставьте оба ответа обратно. Проверка обходится дёшево и ловит ошибки в знаках:

   $\left|3\cdot\tfrac{10}{3}-5\right|=|10-5|=5\qquad\checkmark$
   $|3\cdot 0-5|=|-5|=5\qquad\checkmark$

   Оба значения удовлетворяют исходному уравнению, поэтому множество решений — $\left\{0,\tfrac{10}{3}\right\}$.