Решите неравенство 1/(2^x + 21) ≤ 3/(2^{x+2} − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним замену, чтобы получить рациональное неравенство. Все появления $x$ находятся в показателе степени с основанием $2$, поэтому подставим $t=2^x$, где $t>0$. Так как $2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4t$, неравенство принимает вид $\frac{1}{t+21}\le\frac{3}{4t-1}$ — это обычное рациональное неравенство относительно $t$.

2. 2

   Перенесём всё в одну часть, не перемножая крест-накрест. Крест-накрест перемножать здесь нельзя: $4t-1$ меняет знак при $t=\tfrac14$, и при умножении на отрицательное выражение знак неравенства поменяется. Запишем $\frac{1}{t+21}-\frac{3}{4t-1}\le 0$ и приведём к общему знаменателю: $\frac{(4t-1)-3(t+21)}{(t+21)(4t-1)}\le 0$.

3. 3

   Упростим числитель. $(4t-1)-3(t+21)=4t-1-3t-63=t-64$, значит, неравенство принимает вид $\frac{t-64}{(t+21)(4t-1)}\le 0$.

4. 4

   Отбросим множитель, не меняющий знак. Так как $t=2^x>0$, множитель $t+21>21>0$ всегда положителен. Деление на положительное число не меняет знак неравенства, остаётся $\frac{t-64}{4t-1}\le 0$.

5. 5

   Построим числовую прямую по $t$. Критические значения: $t=64$ (знак числителя) и $t=\tfrac14$ (знаменатель обращается в ноль, точка исключается). Дробь отрицательна строго между этими точками, то есть $\tfrac14<t\le 64$; $t=64$ включается, так как неравенство нестрогое, $t=\tfrac14$ исключается, так как в этой точке дробь не определена.

6. 6

   Вернёмся к переменной $x$. Запишем границы в виде степеней двойки: $2^{-2}<2^x\le 2^6$. Функция $2^x$ строго возрастает, поэтому для показателей справедливо $-2<x\le 6$.

7. 7

   Проверим граничные значения. При $x=6$: $\frac{1}{64+21}=\frac{1}{85}$ и $\frac{3}{256-1}=\frac{3}{255}=\frac{1}{85}$, то есть равенство достигается, и $x=6$ входит в ответ. При $x=-2$: $2^{x+2}-1=2^0-1=0$, правая часть не определена, значит, $x=-2$ исключается из решения.