Неравенство |ax+5| ≤ b имеет множество решений -4 ≤ x ≤ 6. Найдите a - b.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем неравенство к виду с центром и радиусом. Для $a\ne 0$:

   $|ax+5|\le b\iff |a|\left|x+\frac5a\right|\le b\iff \left|x-\left(-\frac5a\right)\right|\le\frac{b}{|a|}$

   Таким образом, множество решений всегда представляет собой отрезок, центрированный в точке $-\tfrac5a$ с радиусом $\tfrac{b}{|a|}$. Это позволяет не рассматривать отдельно случаи знака $a$.

2. 2

   Определим центр и радиус по данному интервалу. Для $[-4,6]$:

   $\text{центр}=\frac{-4+6}{2}=1,\qquad \text{радиус}=\frac{6-(-4)}{2}=5$

3. 3

   Приравняем центр для нахождения $a$.

   $-\frac{5}{a}=1\ \Longrightarrow\ a=-5$

4. 4

   Приравняем радиус для нахождения $b$. При $|a|=5$:

   $\frac{b}{5}=5\ \Longrightarrow\ b=25$

   Заметим, что $b=25\ge 0$, как и требуется — при отрицательном $b$ неравенство $|ax+5|\le b$ не имело бы решений.

5. 5

   Вычислим $a-b$ и проверим исходное неравенство.

   $a-b=-5-25=-30$

   Проверим: при $a=-5$, $b=25$ неравенство принимает вид $|-5x+5|\le 25$, то есть $5|x-1|\le 25$, а значит $|x-1|\le 5$, то есть $-4\le x\le 6$ — именно данный отрезок. На концах $|-5(-4)+5|=25$ и $|-5(6)+5|=25$, оба значения равны границе, как и должно быть по условию равенства.

6. 6

   Общий приём. Для любого $|ax+c|\le b$: середина отрезка решений — $-c/a$, а его полудлина — $b/|a|$. Приравнивание этих величин к середине и полудлине данного интервала всегда позволяет найти $a$ и $b$ сразу, без разбора знака.