Комплексное число z = a + bi удовлетворяет равенству (a + bi)²⁰²⁵ = (a − bi)²⁰²⁵. Что это условие означает для z?

Step-by-step solution

1. 1

   Переписываем правую часть как сопряжённое. Так как $a-bi=\overline{z}$, а сопряжение перестановочно со степенями, имеем $\overline{z}^{\,2025}=\overline{z^{2025}}$. Значит, условие говорит, что

   $z^{2025}=\overline{z^{2025}}.$

   В этой единственной переписи и заключена вся идея: равенство на самом деле не про $z$, а про число $w=z^{2025}$.

2. 2

   Пользуемся тем, что равенство $w=\overline{w}$ характеризует действительные числа. Записав $w=u+vi$, из уравнения $w=\overline{w}$ получаем $u+vi=u-vi$, откуда $2vi=0$ и $v=0$. Значит, условие в точности означает

   $z^{2025}\in\mathbb{R}.$

   Словами: число $a+bi$ в степени 2025 действительно.

3. 3

   Переходим к полярной форме, чтобы понять, какие $z$ подходят. Запишем $z=re^{i\theta}$, где $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$. Тогда $\overline{z}=re^{-i\theta}$, и по формуле Муавра

   $z^{2025}=r^{2025}e^{i\,2025\theta},\qquad \overline{z}^{\,2025}=r^{2025}e^{-i\,2025\theta}.$

   Если $r=0$, то есть $a=b=0$, обе части равны $0$ и условие выполняется тривиально.

4. 4

   Решаем уравнение на угол при $z\neq 0$. Сократив на $r^{2025}\neq 0$, получаем $e^{i2025\theta}=e^{-i2025\theta}$, то есть $e^{i4050\theta}=1$, откуда

   $4050\theta=2k\pi\;\Longrightarrow\;\theta=\frac{k\pi}{2025},\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   Равносильно: $\sin(2025\theta)=0$, что и означает обращение в нуль мнимой части числа $z^{2025}$. Обратите внимание: модуль $r$ ничем не ограничен — важно только направление $z$.

5. 5

   Описываем множество решений геометрически. Подходящие $z$ образуют $2025$ прямых, проходящих через начало координат (каждая прямая покрывает два из $4050$ углов $k\pi/2025$), расположенных через $\pi/2025=180^{\circ}/2025$, плюс само начало координат. Действительная ось ($k=0$) и чисто мнимый случай попадают сюда лишь тогда, когда $\theta$ кратно $\pi/2025$; а поскольку $2025$ нечётно, угол $\theta=\pi/2$ таким не является, и потому $z=i$ условию не удовлетворяет. Действительно, $i^{2025}=i$, тогда как $(-i)^{2025}=-i$ ✓.