Известно, что −2 < a < 1 и 1 < b < 2. Какие утверждения верны? A: −4 < a − b < 0. B: −2 < ab < 2. C: −2 < a/b < 1. D: ab − 2 < a − 2b.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспоминаем верное правило для вычитания. Неравенства можно складывать, но нельзя вычитать напрямую; вместо этого сначала меняем знак у второго. Из $1<b<2$ получаем $-2<-b<-1$, и сложение с $-2<a<1$ даёт

   $-4<a-b<0$

   Значит, A верно, причём границы точные (они достигаются в пределе при $a\to-2,b\to 2$ и при $a\to 1,b\to 1$).

2. 2

   B неверно — проверяем крайние углы для произведения. Так как $a$ может быть отрицательным, экстремумы $ab$ достигаются в углах прямоугольника: $ab$ пробегает значения от $(-2)(2)=-4$ до $(1)(2)=2$, то есть

   $-4<ab<2$

   Значения меньше $-2$ действительно встречаются: при $a=-1.8$, $b=1.9$ получаем $ab=-3.42$. Неверно.

3. 3

   C верно. Так как $b>0$, деление знаки не меняет, а частное наибольшее при наибольшем $a$ и наименьшем $b$, и наименьшее — при самом отрицательном $a$ и наименьшем $b$:

   $\frac{a}{b}>\frac{-2}{1}=-2,\qquad \frac{a}{b}<\frac{1}{1}=1$

   то есть $-2<\dfrac ab<1$. Верно.

4. 4

   D неверно — сводим к произведению. Утверждение $ab-2<a-2b$ равносильно

   $ab-a+2b-2<0\quad\Longleftrightarrow\quad a(b-1)+2(b-1)<0\quad\Longleftrightarrow\quad (a+2)(b-1)<0$

   Но из $a>-2$ следует $a+2>0$, а из $b>1$ следует $b-1>0$, поэтому произведение положительно при любой допустимой паре. Значит, заявленное неравенство ложно всегда. Неверно.

5. 5

   Делаем вывод и проверяем на конкретной точке.

   $\boxed{\text{A и C}}$

   Возьмём $a=0$, $b=1.5$: тогда $a-b=-1.5\in(-4,0)$ ✓; $ab=0\in(-4,2)$ (и заодно попадает в $(-2,2)$ — вот почему для опровержения B нужна именно угловая точка); $a/b=0\in(-2,1)$ ✓; наконец $ab-2=-2$ против $a-2b=-3$, то есть $-2<-3$ ложно ✓, что подтверждает провал D.