Решите уравнение |x| + |x − 1| = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Прочитаем левую часть как суммарное расстояние. Величина $|x|$ — это расстояние от $x$ до $0$, а $|x-1|$ — расстояние от $x$ до $1$. Уравнение спрашивает о точках, у которых сумма расстояний до $0$ и до $1$ равна $1$, а $1$ — это в точности промежуток между самими этими точками.

2. 2

   Разобьём на три случая. Критические точки $0$ и $1$ делят прямую на три области.

   Случай $x<0$: здесь $|x|=-x$ и $|x-1|=1-x$, поэтому уравнение читается как $-x+1-x=1$, то есть $-2x=0$ и $x=0$ — что противоречит условию $x<0$. Решений здесь нет.

3. 3

   Случай 0 ≤ x ≤ 1. Здесь $|x|=x$ и $|x-1|=1-x$, поэтому

   $x+(1-x)=1$

   Это тождество — оно верно при любом $x$ из отрезка. Значит, весь отрезок $[0,1]$ является решением.

4. 4

   Случай x > 1. Здесь $|x|=x$ и $|x-1|=x-1$, поэтому $x+x-1=1$, то есть $2x=2$ и $x=1$ — что противоречит условию $x>1$. И в этой области решений нет.

5. 5

   Соберём множество решений.

   $\boxed{0\le x\le 1,\ \text{т. е. }x\in[0,1]}$

   Ответ — целый промежуток, а не конечный список корней; на этом стоит остановиться отдельно, ведь от уравнений с модулем обычно ждут изолированных решений.

6. 6

   Проверим концы и внутреннюю точку. При $x=0$: $0+1=1$ ✓. При $x=1$: $1+0=1$ ✓. При $x=0.3$: $0.3+0.7=1$ ✓. Снаружи: при $x=2$ получаем $2+1=3\neq 1$ ✗; при $x=-1$ получаем $1+2=3\neq 1$ ✗. Это согласуется и с неравенством треугольника $|x|+|x-1|\ge|x-(x-1)|=1$, где равенство достигается ровно на $[0,1]$.