Функцию F(x) = 2|x + 6| − 1 сдвинули на 7 единиц вниз и на 1 единицу вправо. Запишите уравнение полученной функции.

Step-by-step solution

1. 1

   Найдём исходную вершину. У графика вида $a|x-p|+q$ излом находится в точке $(p,q)$. Записав $2|x+6|-1$ как $2|x-(-6)|+(-1)$, видим вершину в точке $(-6,-1)$ и растяжение по вертикали с коэффициентом $2$. Следить за вершиной — самый быстрый способ проверить итоговый ответ.

2. 2

   Выполним горизонтальный сдвиг, следя за направлением. Сдвиг графика на $1$ единицу вправо заменяет каждое $x$ на $x-1$ — это контринтуитивный шаг, ведь знак внутри выглядит «наоборот»:

   $2\bigl|(x-1)+6\bigr|-1=2|x+5|-1.$

   Вершина переходит из $(-6,-1)$ в $(-5,-1)$, то есть на единицу вправо, — значит, подстановка сделана в правильную сторону.

3. 3

   Выполним вертикальный сдвиг. Сдвиг на $7$ единиц вниз вычитает $7$ из всей функции; это преобразование действует снаружи модуля и ведёт себя вполне ожидаемо:

   $2|x+5|-1-7=2|x+5|-8.$

4. 4

   Проверим по вершине. Излом теперь в точке $(-5,-8)$: на единицу правее и на семь единиц ниже, чем $(-6,-1)$, — ровно как требовалось. Коэффициент растяжения $2$ не изменился, поскольку параллельный перенос никогда не меняет ни форму графика, ни угловые коэффициенты лучей, которые остаются равными $\pm2$.

5. 5

   Проверим по точкам. На исходном графике $F(-6)=2(0)-1=-1$. Соответствующая точка образа должна быть $(-6+1,\,-1-7)=(-5,-8)$. Подставляем в ответ: $2|-5+5|-8=-8$ ✓. Вторая проверка при $x=-3$: ответ даёт $2(2)-8=-4$, а прообразом служит $x=-4$ с $F(-4)=2(2)-1=3$, и $3-7=-4$ ✓.