Пусть a = λ − 2024 и b = √(4 − (λ − 2024)²). Найдите все действительные λ, при которых и a, и b — действительные числа.

Step-by-step solution

1. 1

   Следует заметить, что только одно из двух выражений накладывает ограничение. $a=\lambda-2024$ — это многочлен по $\lambda$, он принимает действительные значения при любом действительном $\lambda$, то есть не даёт никаких условий. Вся информация содержится в $b$, так как квадратный корень из отрицательного числа не является действительным.

2. 2

   Запишем условие на подкоренное выражение. Для того чтобы $b$ было действительным,

   $4-(\lambda-2024)^2\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad (\lambda-2024)^2\le 4$

3. 3

   Преобразуем неравенство с квадратом в неравенство с модулем. Для любого действительного $t$ неравенство $t^2\le 4$ равносильно $|t|\le 2$, то есть $-2\le t\le 2$. Подставляя $t=\lambda-2024$, получаем:

   $-2\le \lambda-2024\le 2$

   Прибавим $2024$ ко всем частям (знак неравенства не меняется), получаем

   $2022\le \lambda\le 2026$

4. 4

   Проверим граничные значения и одну внутреннюю точку. При $\lambda=2022$: $4-(-2)^2=0$, значит $b=0$ — это действительное число, граница включается. Аналогично при $\lambda=2026$. При $\lambda=2027$: $4-3^2=-5<0$, $b$ становится мнимым, и это значение правильно исключается. В центре, при $\lambda=2024$: $b=\sqrt{4}=2$, что является наибольшим возможным значением $b$.

5. 5

   Укажем геометрический смысл ответа. Если сложить оба определения,

   $a^2+b^2=(\lambda-2024)^2+\left(4-(\lambda-2024)^2\right)=4$

   то $(a,b)$ всегда лежит на окружности радиуса $2$ с центром в начале координат — а поскольку берётся главная (неотрицательная) ветвь корня, только на верхней полуокружности. Поэтому $a=\lambda-2024$ может принимать значения только из $[-2,2]$: это горизонтальная координата точки на окружности радиуса $2$. Ответ — промежуток

   $\lambda\in[2022,\,2026]$