Впишите правильный знак неравенства между 4a − 3 и 4b − 3, если известно соотношение между a и b.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, какие операции выполняются над $a$ и $b$. Каждое выражение получается умножением на $4$ и последующим вычитанием $3$. Необходимо проверить, как эти операции влияют на порядок.

2. 2

   Умножение на положительное число сохраняет порядок. Так как $4 > 0$,

   $a < b \;\Longrightarrow\; 4a < 4b$

   Только отрицательный множитель меняет знак неравенства.

3. 3

   Вычитание постоянного числа также сохраняет порядок. Если из обеих частей неравенства вычесть $3$, обе величины сдвигаются одинаково:

   $4a < 4b \;\Longrightarrow\; 4a - 3 < 4b - 3$

4. 4

   Рассмотрим три случая.

   $a < b \;\Longrightarrow\; 4a-3 < 4b-3, \qquad a > b \;\Longrightarrow\; 4a-3 > 4b-3, \qquad a = b \;\Longrightarrow\; 4a-3 = 4b-3$

   Направление всегда совпадает с исходным — функция $t \mapsto 4t - 3$ строго возрастает.

5. 5

   Проверим на числовых примерах. Пусть $a = 1$, $b = 4$: $4 - 3 = 1$ и $16 - 3 = 13$, действительно $1 < 13$. Если $a = -2$, $b = -5$ (то есть $a > b$): $-8 - 3 = -11$, $-20 - 3 = -23$, и $-11 > -23$. В обоих случаях направление сохраняется.

6. 6

   Сравним с отрицательным коэффициентом. Для выражений $3 - 2a$ и $3 - 2b$ множитель $-2$ — отрицателен, поэтому порядок меняется: если $a < b$, то $3-2a > 3-2b$. Такое сравнение позволяет увидеть, на каком шаге происходит смена знака.