Сколько литров 20%-го раствора спирта и 50%-го раствора спирта нужно смешать, чтобы получить 20 литров 35%-го раствора?

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначим два неизвестных. Пусть $x$ — число литров, взятых из $20\%$-го раствора, а $y$ — число литров, взятых из $50\%$-го раствора. Два неизвестных означают, что нужны два независимых уравнения: одно на общий объём, другое на количество чистого спирта.

2. 2

   Уравнение 1: общий объём. Взятые количества в сумме должны дать требуемые $20$ литров:

   $x+y=20.$

3. 3

   Уравнение 2: чистый спирт сохраняется. Это главная идея любой задачи на смеси: спирт в готовой смеси равен сумме спирта, принесённого каждым компонентом. В нужном растворе содержится $0.35\times 20=7$ литров чистого спирта, а компоненты дают $0.20x$ и $0.50y$:

   $0.20x+0.50y=7.$

4. 4

   Решаем систему подстановкой. Из первого уравнения $x=20-y$. Подставим во второе:

   $0.20(20-y)+0.50y=7\ \Longrightarrow\ 4+0.30y=7\ \Longrightarrow\ 0.30y=3\ \Longrightarrow\ y=10.$

   Тогда $x=20-10=10$.

5. 5

   Сверим результат с условием задачи. Раствор $20\%$ даёт $0.20\times 10=2$ л спирта, раствор $50\%$ даёт $0.50\times 10=5$ л, итого $7$ л на $20$ л смеси, то есть $\frac{7}{20}=35\%$. Всё верно.

6. 6

   Прикидка через середину. Значение $35\%$ лежит ровно посередине между $20\%$ и $50\%$, поэтому ответом обязаны были стать равные части обоих растворов. Если целевая концентрация не совпадает с серединой, смесь смещается в сторону того исходного раствора, который к ней ближе, — удобный способ поймать ошибку в знаке или в арифметике ещё до того, как доверишься выкладкам.