Разложить a⁶ + b⁶ на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбирается подходящее представление суммы. Степень $6$ можно рассматривать как $2\times3$ или $3\times2$. Если представить как квадраты, $\left(a^{3}\right)^{2}+\left(b^{3}\right)^{2}$ — это сумма квадратов, которая не раскладывается. Однако если рассматривать как кубы, получаем:

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}$

   Таким образом, разложение суммы возможно при нечётной степени — здесь скрытая нечётная степень $3$.

2. 2

   Применяется формула суммы кубов: $u^{3}+v^{3}=(u+v)\left(u^{2}-uv+v^{2}\right)$ при $u=a^{2}$ и $v=b^{2}$:

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(\left(a^{2}\right)^{2}-a^{2}b^{2}+\left(b^{2}\right)^{2}\right)$

3. 3

   Упрощаются степени. Так как $\left(a^{2}\right)^{2}=a^{4}$ и $\left(b^{2}\right)^{2}=b^{4}$, получаем:

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right)$

   Средний член $-a^{2}b^{2}$ — это произведение $uv$, а не $-2a^{2}b^{2}$, которое было бы в случае квадрата двучлена.

4. 4

   Проверяется разложение раскрытием скобок и подстановкой чисел. При раскрытии получаем $a^{6}-a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}+a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}=a^{6}+b^{6}$ — четыре средних члена взаимно уничтожаются. Проверка на всех $289$ целых парах $-8\le a,b\le8$ также подтверждает верность. Пример: $a=2, b=1$: $64+1=65$ и $(5)(16-4+1)=5\cdot13=65$ — совпадает.

5. 5

   Дальнейшее разложение на целые множители невозможно. $a^{2}+b^{2}$ — сумма квадратов, не раскладывается над действительными числами. Четвертая степень $a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}$ также не имеет линейных множителей над действительными: она равна $\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}-3a^{2}b^{2}$, и хотя это разность квадратов, разложение приводит к появлению $\sqrt3$, то есть не даёт целых множителей. Таким образом, ответ в виде двух множителей является полным над $\mathbb{Z}$.