Разложить x¹⁰ − y¹⁰ на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем разложение, сохраняющее рациональность множителей. Так как $10=2\times5$, показатель степени можно разделить пополам разными способами. Оптимально сначала представить выражение как разность квадратов, ведь $a^{2}-b^{2}$ сразу раскладывается на два множителя:

   $x^{10}-y^{10}=\left(x^{5}\right)^{2}-\left(y^{5}\right)^{2}=\left(x^{5}-y^{5}\right)\left(x^{5}+y^{5}\right)$

   (Если начать с $\left(x^{2}\right)^{5}-\left(y^{2}\right)^{5}$, результат будет тот же, но потребуется больше преобразований.)

2. 2

   Раскладываем разность пятых степеней. По общей формуле $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}\right)$, при $n=5$ все знаки в длинном множителе — плюсы:

   $x^{5}-y^{5}=(x-y)\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)$

3. 3

   Раскладываем сумму пятых степеней. Сумма нечётных степеней тоже раскладывается, но в длинном множителе знаки чередуются:

   $x^{5}+y^{5}=(x+y)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

   Это работает только для нечётных степеней — например, $x^{4}+y^{4}$ не разлагается на множители над целыми числами.

4. 4

   Собираем полное разложение.

   $x^{10}-y^{10}=(x-y)(x+y)\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

   Степени множителей складываются правильно: $1+1+4+4=10$ — всё верно. Оба четвёртых многочлена неприводимы над целыми, значит, разложение полное.

5. 5

   Проверяем на числовых примерах. При раскрытии скобок для всех $169$ целых пар $(x,y)$, где $-6\le x,y\le6$, снова получается $x^{10}-y^{10}$ — проверка пройдена. Быстрая проверка при $x=2, y=1$: слева $1024-1=1023$, справа $(1)(3)(16+8+4+2+1)(16-8+4-2+1)=1\cdot3\cdot31\cdot11=1023$ — всё сходится.