Найдите произведение (3x² + 4xy + 5y²)(7x² + 9y²), записав умножение в одну строку.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим структуру выражения. Оба множителя — однородные многочлены: каждая слагаемая первого имеет общую степень $2$, и каждая слагаемая второго — тоже $2$. Значит, все частичные произведения будут иметь общую степень $4$. Возможные типы слагаемых — $x^4$, $x^3y$, $x^2y^2$, $xy^3$, $y^4$, что удобно для самопроверки.

2. 2

   Раскроем скобки, умножая трёхчлен на $7x^2$. Получаем: $3x^2\cdot 7x^2=21x^4$, $4xy\cdot 7x^2=28x^3y$, $5y^2\cdot 7x^2=35x^2y^2$.

3. 3

   Аналогично умножим на $9y^2$. Получаем: $3x^2\cdot 9y^2=27x^2y^2$, $4xy\cdot 9y^2=36xy^3$, $5y^2\cdot 9y^2=45y^4$.

4. 4

   Сгруппируем шесть одночленов по виду. Слагаемые $21x^4$, $28x^3y$, $36xy^3$ и $45y^4$ встречаются по одному разу; $x^2y^2$ встречается дважды: $35x^2y^2$ и $27x^2y^2$.

5. 5

   Сложим и запишем ответ по убыванию степеней $x$. $35x^2y^2+27x^2y^2=62x^2y^2$, окончательно: $21x^4+28x^3y+62x^2y^2+36xy^3+45y^4$.

6. 6

   Проверим результат в двух точках. При $x=y=1$: $(3+4+5)(7+9)=12\cdot 16=192$, сумма коэффициентов $21+28+62+36+45=192$. При $x=2, y=-1$: $(12-8+5)(28+9)=9\cdot 37=333$, сумма $336-224+248-72+45=333$.