Упростите 0,8x + (1 - x)·0,2.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим структуру выражения до упрощения. Здесь дано взвешенное среднее: доля $x$ чего-либо учитывается по ставке $0.8$, а оставшаяся доля $1-x$ — по ставке $0.2$. Подобные выражения часто встречаются в задачах на смеси, вероятности и средние скорости. Знание этого подсказывает, что итоговое выражение должно быть линейным по $x$.

2. 2

   Раскроем скобки, распределяя $0.2$ по каждому слагаемому.

   $0.2\cdot1=0.2,\qquad 0.2\cdot(-x)=-0.2x$

   Получаем:

   $0.8x+0.2-0.2x$

3. 3

   Сгруппируем подобные слагаемые. Два слагаемых с $x$ можно объединить, свободный член остаётся без изменений:

   $(0.8x-0.2x)+0.2$

4. 4

   Выполним вычисления и запишем результат.

   $0.8x-0.2x=0.6x\qquad\Longrightarrow\qquad 0.6x+0.2$

   Коэффициент $0.6$ — это разница между двумя ставками, $0.8-0.2$, а свободный член $0.2$ — значение при $x=0$.

5. 5

   Проверим значения на концах отрезка. При $x=0$ выражение должно давать только низкую ставку: $0.6(0)+0.2=0.2$ ✓. При $x=1$ — только высокую: $0.6(1)+0.2=0.8$ ✓. Оба конца соответствуют смыслу взвешенного среднего.

6. 6

   Проведём проверку на случайных значениях. Подстановка $40$ случайных значений $x$ из $[-5,5]$ показывает совпадение исходного и упрощённого выражений с машинной точностью, что подтверждает корректность преобразования и вне $[0,1]$.