Решите кубическое уравнение x³ − 3x + 2 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем рациональный корень. По теореме о рациональных корнях любой такой корень делит свободный член $2$, поэтому кандидаты — $\pm1,\pm2$. Проверяем $x=1$:

   $1-3+2=0\ \checkmark$

   значит $x=1$ — корень, а $(x-1)$ — множитель. Заметим: члена с $x^2$ нет, то есть его коэффициент равен $0$ — этот ноль обязательно надо внести в схему деления.

2. 2

   Делим на (x − 1) по схеме Горнера. С коэффициентами $1,\ 0,\ -3,\ 2$ и корнем делителя $1$:

   $1\ \to\ 0+1=1\ \to\ -3+1=-2\ \to\ 2-2=0$

   Последний $0$ — это остаток, подтверждающий корень, а частное равно $x^2+x-2$:

   $x^3-3x+2=(x-1)\left(x^2+x-2\right)$

3. 3

   Раскладываем квадратный трёхчлен. Два числа с произведением $-2$ и суммой $+1$ — это $+2$ и $-1$:

   $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$

4. 4

   Собираем повторяющийся множитель. Множитель $(x-1)$ встречается дважды:

   $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$

   Это признак кратного корня — о нём стоит сказать прямо, а не выписывать $x=1$ дважды, будто это два разных ответа.

5. 5

   Выписываем решения.

   $x=1\ \text{(кратности 2)},\qquad x=-2$

   У кубического уравнения три корня с учётом кратности, значит здесь учтены все.

6. 6

   Истолковываем кратный корень по графику. В корне чётной кратности кривая касается оси, не пересекая её: $x=1$ — точка локального минимума функции $f(x)=x^3-3x+2$ (действительно, $f'(x)=3x^2-3=0$ при $x=1$, то есть $f$ и $f'$ обращаются там в нуль одновременно). В точке $x=-2$ график пересекает ось обычным образом.

7. 7

   Проверяем разложение и корни. Сравнение $x^3-3x+2$ с $(x-1)^2(x+2)$ во всех целых точках от $-40$ до $39$ даёт полное совпадение ✓, а подстановка $x=1$ и $x=-2$ каждый раз даёт ровно $0$ ✓. Сходится и теорема Виета: сумма корней $1+1-2=0=-b/a$ ✓.