Разложить (y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x², считая y′ переменной.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем производную переменной. Запишем выражение по степеням $y^{\prime}$ — получаем обычное квадратное уравнение:

   $\left(y^{\prime}\right)^2-\left(4x^2\right)y^{\prime}+\left(4x^4-x^2\right)$

   Важно сразу определить, какая буква — неизвестная: степени $x$ выступают только как коэффициенты.

2. 2

   Замечаем полный квадрат в первых трёх слагаемых. Слагаемые $\left(y^{\prime}\right)^2$, $-4x^2y^{\prime}$ и $4x^4$ соответствуют формуле $a^2-2ab+b^2$ при $a=y^{\prime}$, $b=2x^2$:

   $\left(y^{\prime}\right)^2-4x^2y^{\prime}+4x^4=\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2$

   Свободный член $4x^4-x^2$ специально выделен как $4x^4$ плюс остаток $-x^2$, чтобы это стало возможным.

3. 3

   Перепишем всё выражение как разность квадратов.

   $\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-x^2=\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-(x)^2$

4. 4

   Применим формулу $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$. Здесь $A=y^{\prime}-2x^2$, $B=x$:

   $\left(y^{\prime}-2x^2-x\right)\left(y^{\prime}-2x^2+x\right)$

5. 5

   Проверим раскрытием скобок. Произведение двух множителей даёт $\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-x^2$, что раскрывается в $\left(y^{\prime}\right)^2-4x^2y^{\prime}+4x^4-x^2\;\checkmark$. Для числовой проверки подставим $y^{\prime}=5$, $x=1$: исходное выражение $25-20+4-1=8$, множители $(5-2-1)(5-2+1)=2\cdot 4=8\;\checkmark$.