Разложить на множители: (x + 1)⁴ + (x - 1)⁴ − 82.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем обе четвёртые степени по биному Ньютона.

   $(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1,\qquad (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$

2. 2

   Сложим их и заметим, что нечётные степени сокращаются.

   $(x+1)^4+(x-1)^4=2x^4+12x^2+2$

   Это не случайно: второе выражение получается из первого заменой $x$ на $-x$, и $f(x)+f(-x)$ всегда оставляет только чётные степени. Благодаря этому можно не выписывать члены с $x^3$ и $x$.

3. 3

   Вычтем 82 и вынесем общий множитель 2.

   $2x^4+12x^2+2-82=2x^4+12x^2-80=2\left(x^4+6x^2-40\right)$

4. 4

   Введём замену $y=x^2$, чтобы получить квадратный трёхчлен.

   $y^2+6y-40=(y+10)(y-4)$

   Поскольку $10\cdot(-4)=-40$ и $10+(-4)=6$.

5. 5

   Вернёмся к переменной $x$ и окончательно разложим на множители над действительными числами.

   $x^4+6x^2-40=(x^2+10)(x^2-4)=(x^2+10)(x-2)(x+2)$

   Множитель $x^2+10$ не имеет действительных корней, поэтому остаётся без изменений; $x^2-4$ — разность квадратов, раскладывается далее.

6. 6

   Соберём итоговый ответ и проверим подстановкой чисел.

   $(x+1)^4+(x-1)^4-82=2(x-2)(x+2)(x^2+10)$

   При $x=1$: исходное выражение $16+0-82=-66$, а $2(-1)(3)(11)=-66$ — совпадает. При $x=3$: $256+16-82=190$, а $2(1)(5)(19)=190$ — совпадает.