Решите уравнение x² − 2x − 4 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала попробуем разложить на множители. Нужны целые числа с произведением $-4$ и суммой $-2$: пары $(1,-4)$, $(2,-2)$ и $(4,-1)$ дают суммы $-3$, $0$ и $3$. Ни одна не подходит, поэтому применяем формулу при $a=1$, $b=-2$, $c=-4$.

2. 2

   Вычислим дискриминант.

   $\Delta=(-2)^2-4(1)(-4)=4+16=20$

   Он положителен, значит действительных корня два и они различны.

3. 3

   Подставим в формулу корней.

   $x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}$

4. 4

   Упростим радикал и сократим. Так как $20=4\cdot 5$, то $\sqrt{20}=2\sqrt5$, и каждое слагаемое числителя содержит множитель $2$:

   $x=\frac{2\pm 2\sqrt5}{2}=1\pm\sqrt5$

   Сокращать до упрощения радикала нельзя: $\tfrac{2\pm\sqrt{20}}{2}\neq 1\pm\sqrt{20}$, ведь двойка обязана делить оба слагаемых числителя.

5. 5

   Проверим выделением полного квадрата. $x^2-2x-4=(x-1)^2-5$, и это выражение обращается в ноль ровно тогда, когда $(x-1)^2=5$, то есть при $x=1\pm\sqrt5$ $\checkmark$. Численно $x\approx 3.2361$ либо $-1.2361$.