Разложите (2x−1)/(x−1)² на простые дроби.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбирается шаблон, необходимый для повторяющегося множителя. В знаменателе — единственный линейный множитель $(x-1)$ во второй степени, поэтому разложение должно содержать слагаемое для каждой степени от $1$ до $2$:

   $\frac{2x-1}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$

   Если оставить только слагаемое с $(x-1)^2$, то останется одна неизвестная при числителе степени $1$, что в общем случае не подходит.

2. 2

   Избавимся от знаменателей. Умножим обе части на $(x-1)^2$:

   $2x-1=A(x-1)+B$

3. 3

   Раскроем скобки и соберём по степеням $x$.

   $2x-1=Ax+(B-A)$

4. 4

   Приравняем коэффициенты. Приравнивая коэффициенты при $x$, получаем $A=2$; приравнивая свободные члены, имеем $B-A=-1$, значит

   $B=A-1=1$

5. 5

   Проверим результат подстановкой. Подставим $x=1$ в $2x-1=A(x-1)+B$ — слагаемое с $A$ обнуляется, сразу получаем $B=2(1)-1=1$ ✓ — полезная независимая проверка метода коэффициентов.

6. 6

   Запишем итог и проверим численно.

   $\frac{2x-1}{(x-1)^2}=\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2},\qquad x\neq 1$

   При $x=3$: слева $=\tfrac{5}{4}=1.25$, справа $=\tfrac{2}{2}+\tfrac{1}{4}=1.25$ ✓. При $x=0.5$: слева $=0$, справа $=-4+4=0$ ✓.