Решить уравнение 4x³ + 8x³ + 4x² − 16x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Прежде всего приведём подобные слагаемые. Первые два слагаемых оба кубические:

   $4x^3 + 8x^3 = 12x^3 \quad\Longrightarrow\quad 12x^3 + 4x^2 - 16x = 0$

   Если пропустить этот шаг и пытаться разложить четыре слагаемых группировкой, дело не пойдёт.

2. 2

   Вынесем наибольший общий множитель. У коэффициентов $12, 4, 16$ общий делитель $4$, и в каждом слагаемом есть хотя бы один $x$:

   $4x\left(3x^2 + x - 4\right) = 0$

   Так сразу виден корень $x = 0$, а остаток задачи сводится к квадратному уравнению.

3. 3

   Разложим квадратный трёхчлен, разбив средний член. Для $3x^2 + x - 4$ нужны два числа с произведением $3 \times (-4) = -12$ и суммой $+1$: это $4$ и $-3$.

   $3x^2 + 4x - 3x - 4 = x(3x+4) - 1(3x+4) = (x-1)(3x+4)$

4. 4

   Приравняем каждый множитель к нулю.

   $4x = 0 \Rightarrow x = 0, \qquad x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1, \qquad 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$

5. 5

   Проверим каждый корень в исходном уравнении. $f(0) = 0$. $f(1) = 12 + 4 - 16 = 0$. $f(-\tfrac43) = 12\left(-\tfrac{64}{27}\right) + 4\left(\tfrac{16}{9}\right) + \tfrac{64}{3} = -\tfrac{256}{9} + \tfrac{64}{9} + \tfrac{192}{9} = 0$. Все три корня точные.