Даны A = [[9,1,1],[1,2,1],[1,18,1]] и B — матрица 3x2 из одних единиц. Вычислите AB и выясните, определено ли A^T B^T.

Step-by-step solution

1. 1

   Перед умножением проверяем размеры. Матрица $A$ имеет размер $3\times 3$, а $B$ — размер $3\times 2$. Внутренние размерности совпадают ($3=3$), поэтому произведение $AB$ существует, а его размер задаётся внешними размерностями: $3\times 2$.

2. 2

   Пользуемся структурой B. Каждый столбец матрицы $B$ равен $(1,1,1)^{t}$, поэтому любой элемент $AB$ — это просто сумма строки матрицы $A$, а оба столбца $AB$ окажутся одинаковыми.

3. 3

   Считаем три суммы строк.

   $9+1+1=11,\qquad 1+2+1=4,\qquad 1+18+1=20$

   Отсюда

   $AB=\begin{pmatrix}11&11\\4&4\\20&20\end{pmatrix}$

4. 4

   (б) Проверяем размеры для AᵗBᵗ. Транспонирование меняет размеры местами: $A^{t}$ имеет размер $3\times 3$, а $B^{t}$ — размер $2\times 3$. Чтобы произведение $A^{t}B^{t}$ существовало, внутренние размерности должны совпасть, то есть $3$ (столбцов у $A^t$) $=2$ (строк у $B^t$) — а это неверно. Значит,

   $A^{t}B^{t}\ \textbf{не определено.}$

5. 5

   Формулируем тождество, которое действительно выполняется. При транспонировании произведения порядок множителей меняется на обратный:

   $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$

   Здесь $B^{t}$ имеет размер $2\times 3$, а $A^{t}$ — размер $3\times 3$, поэтому $B^{t}A^{t}$ имеет размер $2\times 3$ — ровно тот же, что и у $(AB)^{t}$.

6. 6

   Проверяем тождество численно.

   $B^{t}A^{t}=\begin{pmatrix}11&4&20\\11&4&20\end{pmatrix}=(AB)^{t}$

   и это действительно транспонированная матрица $AB$ из пункта (а). Тем самым подтверждается и арифметика, и правило перестановки множителей.

   $\boxed{AB=\begin{pmatrix}11&11\\4&4\\20&20\end{pmatrix};\quad A^{t}B^{t}\text{ не определено};\quad (AB)^{t}=B^{t}A^{t}}$