Разложите x² − 7x + 12 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Формулируем задачу. Для приведённого квадратного трёхчлена $x^2+bx+c$ разложение на множители сводится к поиску двух чисел, произведение которых равно $c=12$, а сумма — $b=-7$. Тогда $x^2+bx+c=(x+m)(x+n)$, где $m$ и $n$ — найденные числа.

2. 2

   Анализируем знаки, чтобы сузить круг поиска. Произведение $+12$ положительно, значит, оба числа имеют одинаковый знак; сумма $-7$ отрицательна, значит, этот общий знак — минус. Достаточно рассматривать только отрицательные пары — это вдвое сокращает перебор.

3. 3

   Перебираем отрицательные пары делителей 12 и их суммы.

   $(-1,-12)\to-13,\qquad(-2,-6)\to-8,\qquad(-3,-4)\to-7\ \checkmark$

   Пара $-3$ и $-4$ подходит: $(-3)(-4)=12$ и $-3+(-4)=-7$.

4. 4

   Записываем разложение.

   $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$

5. 5

   Проверяем раскрытием скобок. $(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$ — совпадает. Средний коэффициент равен сумме чисел, свободный член — их произведению, как и требовалось.

6. 6

   Находим корни и убеждаемся в корректности. Выражение обращается в ноль при $x=3$ и $x=4$. Сравнение исходного и разложенного выражений на всех целых $x$ от $-30$ до $29$ даёт полное совпадение. Дискриминант $49-48=1$ — полный квадрат, что гарантирует существование целых множителей.