Решить неравенство −x² + 4x − 4 < 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выносим минус за скобку, чтобы увидеть структуру выражения.

   $-x^2+4x-4=-\left(x^2-4x+4\right)$

   В скобке стоит знакомый квадрат разности.

2. 2

   Узнаём полный квадрат.

   $x^2-4x+4=(x-2)^2\quad\Longrightarrow\quad -x^2+4x-4=-(x-2)^2$

3. 3

   Пользуемся знаком квадрата. При любом действительном $x$ верно $(x-2)^2\ge 0$, поэтому $-(x-2)^2\le 0$. Значит, выражение никогда не бывает положительным, и остаётся выяснить только, где оно обращается в нуль.

4. 4

   Находим случай равенства. Равенство $-(x-2)^2=0$ выполняется ровно при $x=2$. Поскольку неравенство строгое ($<0$, а не $\le 0$), эту единственную точку нужно исключить.

5. 5

   Записываем множество решений.

   $\boxed{x\in(-\infty,2)\cup(2,\infty),\ \text{т. е. все действительные }x\neq 2}$

6. 6

   Перепроверяем через дискриминант. Для $-x^2+4x-4$ дискриминант равен $4^2-4(-1)(-4)=16-16=0$, значит парабола касается оси $x$ в одной точке, а так как ветви направлены вниз ($a=-1<0$), во всех остальных точках она лежит строго ниже оси — ровно тот вывод, что получен выше. Контрольные значения: при $x=0$ выражение равно $-4<0$, при $x=2$ равно $0$, при $x=5$ равно $-9<0$.