Решите неравенство x/2 > x − 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Избавимся от дроби, умножив на 2. Множитель $2$ положителен, поэтому направление неравенства не меняется — в отличие от умножения на выражение с переменной, здесь всё безопасно:

   $x>2(x-1)=2x-2$

   Обратите внимание: двойка должна умножить оба слагаемых в $x-1$.

2. 2

   Соберём слагаемые с переменной. Вычтем $2x$ из обеих частей:

   $x-2x>-2\qquad\Longrightarrow\qquad-x>-2$

   Коэффициент стал отрицательным, и это подводит нас к единственному шагу, требующему внимания.

3. 3

   Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства. Смена знака у обеих частей меняет направление неравенства на противоположное:

   $x<2$

   Если забыть развернуть знак, получится ровно противоположный неверный ответ $x>2$ — в этом вся суть задачи. Способ вообще обойти этот шаг: из $x>2x-2$ прибавим $2$ и вычтем $x$, сразу получив $2>x$, а затем прочитаем это справа налево как $x<2$ ✓ — тот же ответ без отрицательного коэффициента.

4. 4

   Запишем множество решений. В виде промежутка это $(-\infty,2)$, причём $2$ не входит, поскольку неравенство строгое.

5. 5

   Проверим вблизи границы. При $x=0$: слева $0$, справа $-1$, и $0>-1$ ✓ (точка внутри). При $x=4$: слева $2$, справа $3$, и $2>3$ ✗ (точка снаружи). При $x=2$: слева $1$, справа $1$ — равенство, поэтому строгое неравенство не выполняется и конец промежутка верно выколот ✓. Исходное неравенство и условие $x<2$ совпали в $80$ точных рациональных точках ✓.