Решите уравнение 3x + 5 = −2|x − 1|.

Step-by-step solution

1. 1

   Используем знак правой части, чтобы сократить работу. Модуль никогда не отрицателен, поэтому $|x-1|\ge0$, а значит, $-2|x-1|\le0$. Левая часть обязана вести себя так же:

   $3x+5\le0\quad\Longrightarrow\quad x\le-\frac53$

   Одна эта строка отсекает бо́льшую часть числовой прямой ещё до разбора случаев — и, в частности, гарантирует $x<1$.

2. 2

   Сводим всё к одному случаю. Любой кандидат удовлетворяет $x\le-\tfrac53<1$, поэтому подмодульное выражение отрицательно и

   $|x-1|=1-x$

   Случай $x\ge1$ разбирать вообще не приходится.

3. 3

   Подставляем и раскрываем скобки.

   $3x+5=-2(1-x)=-2+2x$

4. 4

   Решаем получившееся линейное уравнение.

   $3x-2x=-2-5\quad\Longrightarrow\quad x=-7$

5. 5

   Убеждаемся, что кандидат удовлетворяет условию случая. Верно ли, что $-7\le-\tfrac53$? Да, $-7<-1.67$ ✓. Если бы преобразования дали значение больше $1$, это был бы посторонний корень и его пришлось бы отбросить — такая проверка не факультативна.

6. 6

   Проверяем в исходном уравнении и обосновываем единственность. Слева: $3(-7)+5=-16$. Справа: $-2|-7-1|=-2(8)=-16$ ✓. Перебор $6001$ точки от $-30$ до $30$ находит только $x=-7$ и никаких других решений ✓ — что и предсказывала оценка знаков: $3x+5$ возрастает, а $-2|x-1|$ при $x<1$ возрастает медленнее.