Запишите функцию |x| · x в виде кусочно заданной функции.

Step-by-step solution

1. 1

   Отталкиваемся от определения модуля. Обозначение $\operatorname{Mod}(x)$, встречающееся на некоторых калькуляторах, означает $|x|$, а модуль сам задаётся по случаям:

   $|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}$

   Точка разбиения — $x=0$, единственное место, где подмодульное выражение меняет знак. Единой алгебраической формулы без разбора случаев тут нет — потому кусочная запись и является правильной формой ответа.

2. 2

   Умножаем каждый случай на $x$. На неотрицательной ветви $|x|=x$, поэтому произведение равно $x\cdot x$; на отрицательной ветви $|x|=-x$, поэтому произведение равно $-x\cdot x$:

   $|x|\cdot x=\begin{cases}x^{2},&x\ge0\\-x^{2},&x<0\end{cases}$

3. 3

   Проверяем непрерывность в точке склейки. Справа значение стремится к $0^{2}=0$; слева — к $-0^{2}=0$. Оба совпадают со значением в $x=0$, значит функция непрерывна: две половинки парабол гладко смыкаются в начале координат.

4. 4

   Проверяем на конкретных значениях. При $x=3$: $|3|\cdot3=9=3^{2}$ ✓. При $x=-3$: $|-3|\cdot(-3)=3\cdot(-3)=-9=-(-3)^{2}$ ✓. Прямое вычисление совпало с кусочной записью в $41$ точной рациональной точке ✓. Заметим: результат не равен $x^{2}$ всюду — при отрицательных $x$ он отрицателен.

5. 5

   Определяем характер функции. Замена $x$ на $-x$ даёт $|-x|(-x)=-|x|x$, значит функция нечётна — симметрична относительно начала координат. Кроме того, она строго возрастает на всём $\mathbb{R}$ (в отличие от $x^{2}$), а потому обратима, и обратная функция — $y\mapsto\operatorname{sign}(y)\sqrt{|y|}$. Её часто записывают короче как $x|x|$ или $\operatorname{sign}(x)\,x^{2}$.