Решить уравнение |x| + |x − 1| = |x − 2| + |x − 3|.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим точки смены знака и разбиваем прямую. Каждый модуль меняет запись там, где подмодульное выражение обращается в нуль, то есть при $x=0,1,2,3$. Эти точки режут числовую прямую на пять промежутков, и на каждом из них все скобки модулей раскрываются с определённым знаком.

2. 2

   Осмысливаем уравнение до вычислений. Слева стоит суммарное расстояние от $x$ до $0$ и до $1$, справа — суммарное расстояние до $2$ и до $3$. Так как пара $\{2,3\}$ целиком лежит правее пары $\{0,1\}$, решение следует искать где-то посередине — и из этой же трактовки видно, что оно будет ровно одно.

3. 3

   Разбираем три крайних промежутка. При $x\le 0$: $(-x)+(1-x)=(2-x)+(3-x)$ даёт $1-2x=5-2x$ — противоречие. При $2\le x\le 3$: $x+(x-1)=(x-2)+(3-x)$ даёт $2x-1=1$, то есть $x=1$, что не принадлежит $[2,3]$ — отбрасываем. При $x\ge 3$: $2x-1=2x-5$ — снова противоречие.

4. 4

   Разбираем промежуток 0 <= x <= 1. Здесь $|x|=x$, $|x-1|=1-x$, $|x-2|=2-x$, $|x-3|=3-x$:

   $x+(1-x)=(2-x)+(3-x)\ \Longrightarrow\ 1=5-2x\ \Longrightarrow\ x=2,$

   а это вне $[0,1]$ — отбрасываем. Всегда сверяйте найденного кандидата с тем промежутком, на котором он получен; именно здесь чаще всего ошибаются.

5. 5

   Разбираем промежуток 1 <= x <= 2. Теперь $|x|=x$, $|x-1|=x-1$, $|x-2|=2-x$, $|x-3|=3-x$:

   $x+(x-1)=(2-x)+(3-x)\ \Longrightarrow\ 2x-1=5-2x\ \Longrightarrow\ 4x=6\ \Longrightarrow\ x=\tfrac32,$

   и $\tfrac32$ действительно лежит в $[1,2]$, поэтому корень принимается.

6. 6

   Проверяем решение в исходном уравнении. При $x=\tfrac32$ слева получается $\tfrac32+\tfrac12=2$, справа $\tfrac12+\tfrac32=2$ ✓. Значит, единственное решение — $x=\tfrac32$, середина между двумя парами точек, ровно как и подсказывала трактовка через расстояния.