Решить неравенство (x − 2)³(x − 4)⁴(x − 5)³(x − 10)⁶ ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Перечислим нули и их кратности. Произведение обращается в ноль только при

   $x=2\ (\text{кратность }3),\quad x=4\ (\text{кратность }4),\quad x=5\ (\text{кратность }3),\quad x=10\ (\text{кратность }6).$

   Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), все четыре точки автоматически входят в решение — особенно это важно для $x=10$.

2. 2

   Используем чётность показателей, чтобы упростить задачу. Чётная степень никогда не бывает отрицательной, поэтому $(x-4)^{4}$ и $(x-10)^{6}$ $\ge 0$ всюду и не могут изменить знак нигде. Вне нулей знак всего выражения определяется знаком

   $(x-2)^{3}(x-5)^{3},$

   а этот знак совпадает со знаком $(x-2)(x-5)$, так как возведение в третью степень сохраняет знак.

3. 3

   Определим знак $(x-2)(x-5)$. Эта парабола ветвями вверх отрицательна строго между своими корнями и положительна вне их:

   $(x-2)(x-5)<0\iff 2<x<5.$

   Значит, произведение отрицательно на $(2,5)$ — причём в $x=4$ оно равно нулю, что также подходит под $\le 0$, так что ничего не теряется — и положительно на $(-\infty,2)\cup(5,10)\cup(10,\infty)$.

4. 4

   Соберём множество решений, не забывая про изолированную точку. Объединяя отрицательный интервал и все четыре нуля, получаем:

   $[2,5]\cup\{10\}.$

   Точка $x=10$ изолирована: по обе стороны от неё произведение строго положительно (шестая степень и положительные множители), но в самой точке $x=10$ оно равно нулю, что удовлетворяет $\le$. Пропуск этой точки — самая частая ошибка в подобных задачах.

5. 5

   Проверим решение на примерах. $x=0$: $(-8)(256)(-125)(10^{6})>0$, не входит ✓. $x=3$: $(1)(1)(-8)(\ldots)=-941192<0$, входит ✓. $x=4.5$: $\approx-3379<0$, входит ✓. $x=6$: $+4194304>0$, не входит ✓. $x=9$: $+13720000>0$, не входит ✓. $x=10$: ровно $0$, входит ✓. $x=11$: $+378071064>0$, не входит ✓.